2011年6月アーカイブ

＜質問＞

y=ax＋bの「変化の割合」を出す公式が、
(変化の割合)＝(yの増加量)/(xの増加量)
ということは分かっています。
でも，yの増加量やxの増加量を求めるための式がどちらからどちらをひけばよいのか迷います。
たとえば，2点がA(4，3)，B(8，11)とわかっていても，「4－8」をしたらよいのか「8－4」をしたらよいのか，

いつも迷ってしまいます。

＜回答＞

実は、「4－8」でも「8－4」でもよいのです。

（1）8から4を引いた場合
Bのx座標からAのx座標を引きましたね。xの増加量は4です。

そのときは，Bのy座標からAのy座標を引けばよいのです。

つまり，11－3＝8です。yの増加量は8です。

ここで，(変化の割合)＝(yの増加量)/(xの増加量)　の公式を使えば，

変化の割合＝8/4＝2　　・・・①

です。

（2）4から8を引いた場合
Aのx座標からBのx座標を引きましたね。xの増加量は－4です。

そのときは，Aのy座標からBのy座標を引けばよいのです。

つまり，3－11＝－8です。yの増加量は－8です。

ここで，(変化の割合)＝(yの増加量)/(xの増加量)　の公式を使えば，

変化の割合＝(－8)/(－4)＝2　　・・・②

です。　（注：(　)は式を見やすくするために入れています。）

①と②の式を比べればわかるように，どちらも変化の割合は「2」となります。

これは，「xが4増えたときに，yが8増える」と見るか，「xが－4増えたときに，yが－8増える」と見るかの違いで，どちらも同じことなのです。

＜質問＞

関数y=ax^2で，xの値がpからqまで増加するときの，変化の割合は，

a(p＋q)で求められるという「合格テクニック」がありましたが，

なぜこのように求められるのですか。(事務局注:「^2」は2乗を表します。)

＜回答＞

まず，「変化の割合」とは，(yの増加量)／(xの増加量)で

求められることを確認してください。・・・（ア）

では，(xの増加量)を文字式で表してみましょう。

xの値がpからqまで増加するわけですから，q－pと表せますね。・・・（イ）

次に，(yの増加量)も同様に文字式で表しましょう。

こちらは，xの値がp のときと，xの値がqのときのそれぞれのyの値を求めます。

x＝pのとき，y＝ap^2

x＝qのとき，y＝aq^2

つまり，yはap^2からaq^2まで増加するわけですから，

その増加量は，aq^2－ap^2と表せます。・・・(ウ)

ここで，(ア)(イ)(ウ)から，以下のように求められます。

（注：見づらいですので，式を実際にノートなどに書いて確認することをお勧めします。

(　)は式を見やすくするためにつけています。）

「変化の割合」

＝(yの増加量)／(xの増加量)

＝(aq^2－ap^2)／(q－p)

　　　　　　　　　　　　　　←分子をaでくくり出す。

＝a(q^2－p^2)／(q－p)　　　

　　　　　　　　　　　　　　←分子を因数分解する。2乗の差は和と差の積で表せる。

＝a(q＋p)(q－p)／(q－p)

　　　　　　　　　　　　　　←約分する。　　　

＝a(p＋q)

＜質問＞

yの変域を求める問題で，xの変域に0をふくむかどうかで，

yの変域の求め方が変わるようなのですが，よくわかりません。

＜回答＞

確かにxの変域に0をふくむかどうかで，yの変域は異なってきます。

しかし，難しく考えずに，まず，関数のグラフをかいてみることをおすすめします。

たとえば，次のような問題を考えてみましょう。

例題1　　y＝x^2で，xの変域が－2≦x≦1のとき，yの変域を求めなさい。

まず，y＝x^2のグラフをかきます。これは，だいたいの形がかければOKです。

このとき，－2≦x≦1ですから，この範囲を赤い矢印で示しておきます。

すると，yの最小値は0であることが明白ですね。・・・(ア)

そして，最大値はグラフからx＝－2のときy＝4です。・・・(イ)

(ア)  と(イ)から0≦y≦4とわかります。

では，同じ関数y＝x^2について違うxの変域で考えてみましょう。

例題2　　y＝x^2で，xの変域が1≦x≦2のとき，yの変域を求めなさい。

これもだいたいのグラフの形をかいてみます。

そして，1≦x≦2の範囲を赤い矢印で示しておきます。

このグラフを見ると，xが2のときyが最大で，xが1のときyが最小であることがわかります。y＝x^2に，x＝2を代入してy＝4となります（最大）。

次にx＝1を代入してy＝1となります（最小）。

ここから1≦y≦4とわかります。

今回紹介した例題以外にも，まずグラフのだいたいの形をかくことで

変域の問題は簡単に考えられるようになります。

＜質問＞

解の公式を使えばどんな2次方程式も解ける，と聞きました。

しっかり覚えておいたほうがよいのですか。

計算が複雑で間違えそうなのですが。

＜回答＞

解の公式はどんな2次方程式でも解けるのが利点です。

ただ，複雑ですし，覚え間違いや計算間違いをする危険が多いのも事実です。

これは，何度も練習をするうちに慣れるしかありません。

はじめは公式を見ながらでよいですから，多くの問題を解の公式で解いて練習しましょう。

ただ，「平方根利用型」や「因数分解利用型」(テキストテーマ3の「基本事項」参照)で解けるときは，

そちらのほうがおすすめです。

＜質問＞

解の公式が便利なのはわかったのですが，なぜあんなに複雑な形なのですか。

＜回答＞

2次方程式をax²＋bx＋c＝0という形に変形したあと，

さまざまな計算（平方根や文字式や因数分解など）を使いこなすと，

以下のようにxの値をa，b，cの3つの文字を使った式で表すことができます。

おわかりの通り，その過程はとても複雑で難しいのです。

ですから，EVERESでは，求める過程は省略して

（おそらく学校や進研ゼミで学ぶ機会があると思います），

その結果としての公式の部分を紹介しました。

ただ，「こんな計算過程で求められるんだ」というのを知っておけば，

より2次方程式の世界が深く理解できるはずですから，

余裕があれば簡単にでも見ておくのもよいと思いますよ。

＜質問＞

2次方程式はxの値が2種類あるようなのですが，答えが2つあるのですか。

＜回答＞

そうです。2次方程式の解は2つあります。

そもそも「解」とはどういう意味だったでしょうか。

方程式を成り立たせるx（やy）の値のことです。

どんな2次方程式の問題でもよいのですが，

解となっている2つのxの値を両方とも2次方程式に代入してみてください。

成り立っているのが確認できるはずです。

なぜ2つあるか，ということを，簡単に言いますと

「ある数の平方根が2つあること」に関係があります。

たとえば，

x＾2＝7　　という2次方程式があるとします。（＾2は2乗を表します。）

解であるxは，2乗したら7になる数ですから，「7の平方根である」と言えますね。

つまり，x＝±√7　となり，2つの解xが存在するのです。

同様に，どんなに複雑な式になっても2次方程式には解が2つ存在するのです。

（厳密には，そうでない場合もありますが，

それは中学数学の範囲では考えませんので，ここでは省略します。）

＜質問＞

25の平方根は±5，と習いましたが，なぜ2つあるのですか。

＜回答＞

そもそも「平方根」とは何か，を確認しておきましょう。

xの2乗がa　となるとき，xをaの平方根といいます。　

5の2乗は25ですから，「5は25の平方根」です。
また，－5も2乗すると25ですから，「－5も25の平方根」です。

このように、平方根は正の値と負の値の両方があります。

たとえば「25の平方根は±5」，となるのです。

＜質問＞

±とはどんな記号ですか。

＜回答＞

＋と－が1つになった記号です。プラスマイナスと読みます。

2±√3と書けば，「2＋√3」と「2－√3」の2つを同時に表すことができます。

＜質問＞

字数が指定された記述の問題で、書く部分は大体検討がつきますが、

字数が超えてしまう場合があります。うまく字数以内におさめられるよう、

言葉を削っていく作業がうまくできません。

どのように削れば良いでしょうか。

＜回答＞

本文中の言葉を用いて解答を考える際に大切なことは、

『必ず盛り込まなければならない内容を取りこぼさない』ということです。

その内容については、文章中の言葉を用いて丁寧に書く必要がありますが、

それ以外の部分に関しては、削ったり、言葉をもっと簡単な表現に

置き換えるなどをして、字数以内に収めていきましょう。

指定の字数以内で解答を作成できるようになるためには、

たくさんの問題に取り組むことが大切です。

最初は「どう増やしたらいいの？」「どこを削ったらいいの？」と

思うことがたくさんあるかもしれません。

しかし、解答文をたくさん作成していくうちに、ご自身の中で、

上手にまとめる「コツ」というものを掴めるようになると思います。

＜質問＞

「○○字以内で書きなさい。」というような問題の場合、

答えとして書いた文の最後に「。」を付けるべきか見分けがつきません。
どうやって見分けたらいいですか？


＜回答＞

＜質問＞

「15字以内の言葉を本文中から抜き出し・・・」というような問題は、

最低何字以上は必要であるといった基準はありますか？

＜回答＞

重要なのは文字数ではなく"問題で問われている要件を満たすこと"です。
多くの問題には、「最低何文字書かなければならない」という要件はありません。
もちろん、制限字数は、なんとなく決められているわけではありません。
しかし、必要な要件を満たしていけば、たいていの問題において、
文字数は７割程度をこえるはずです。
文字数は『問われている要件を満たせているか』の目安と考え、指定字数の８割以上でまとめることを目指しましょう。