04 数学の最近のブログ記事

<質問>

 

相似な図形の体積の比は相似比の3乗になる,と聞きました。

なぜこのように表すことができるのでしょうか?

 

<回答> 

 

たとえば,立方体Pと立方体Qが相似で,相似比をmnとします。

このとき,立方体の1辺はaa≠0)を使って,それぞれmanaと表せます。

 

立方体Pの体積は,(ma3m3a3

立方体Qの体積は,(na3n3a3

 

したがって,立方体Pと立方体Qの体積の比は,

m3a3n3a3m3n3

 

図形が立方体でなくても,

相似な図形であれば同様に,体積の比は相似比の3乗になることがいえます。

切片が-apqで求められるのはなぜか?

質問

 

放物線yax2と直線ycxd2つの交点のx座標をそれぞれpqとしたときに,

直線の切片dは-apqと表すことができる。

なぜこのように表すことができるのでしょうか?

 

回答

 

この放物線yax2上の2点間の変化の割合は,

 a (p+q)と表せます。

(合格テクニックより)

放物線上の2点を通る直線ycxd

傾きcの値は,変化の割合a(pq)と一致します。

よって,この直線の式はya(p+q)x+dと表せます。

次に,この直線は,放物線上の点pap2

通ります。直線の式 ya(p+q)x+dに,

xpy ap2を代入してみます。すると,

ap2a(p+q)p+d

a(p+q)p+d ap2 

dap2a(p+q)p

dap2ap2apq

d=-apq

dは切片ですから,切片がapqと表せることがわかりました。

 

<質問>

y=axbの「変化の割合」を出す公式が、
(
変化の割合)(
yの増加量)/(xの増加量)
ということは分かっています。
でも,
yの増加量やxの増加量を求めるための式がどちらからどちらをひけばよいのか迷います。
たとえば,2点がA(43)B(811)とわかっていても,「48」をしたらよいのか「84」をしたらよいのか,

いつも迷ってしまいます。

 

 

<回答>

実は、「48」でも「84」でもよいのです。

18から4を引いた場合
B
x座標からAx座標を引きましたね。xの増加量は4です。

そのときは,By座標からAy座標を引けばよいのです。

つまり,1138です。yの増加量は8です。

 

ここで,(変化の割合)(yの増加量)/(xの増加量) の公式を使えば,

変化の割合=8/42  ・・・①

です。

 

24から8を引いた場合
A
x座標からBx座標を引きましたね。xの増加量は-4です。

そのときは,Ay座標からBy座標を引けばよいのです。

つまり,311=-8です。yの増加量は-8です。

 

ここで,(変化の割合)(yの増加量)/(xの増加量) の公式を使えば,

変化の割合=(8)/(4)2  ・・・②

です。 (注:( )は式を見やすくするために入れています。)

 

①と②の式を比べればわかるように,どちらも変化の割合は「2」となります。

 

これは,「x4増えたときに,y8増える」と見るか,「x4増えたときにy8増える」と見るかの違いで,どちらも同じことなのです。

変化の割合が,a(p+q)で求められるのはなぜですか

<質問>

関数y=ax^2で,xの値がpからqまで増加するときの,変化の割合は,

a(pq)で求められるという「合格テクニック」がありましたが,

なぜこのように求められるのですか。(事務局注:^2」は2乗を表します。)



<回答>

まず,「変化の割合」とは,(yの増加量)(xの増加量)

求められることを確認してください。・・・(ア)

 

では,(xの増加量)を文字式で表してみましょう。

xの値がpからqまで増加するわけですから,qpと表せますね。・・・(イ)

 

次に,(yの増加量)も同様に文字式で表しましょう。

こちらは,xの値がp のときと,xの値がqのときのそれぞれのyの値を求めます。

 

xpのとき,yap^2

xqのとき,yaq^2

 

つまり,yap^2からaq^2まで増加するわけですから,

その増加量は,aq^2ap^2と表せます。・・・()

 

ここで,()()()から,以下のように求められます。

(注:見づらいですので,式を実際にノートなどに書いて確認することをお勧めします。

( )は式を見やすくするためにつけています。)

 

「変化の割合」

(yの増加量)(xの増加量)

(aq^2ap^2)(qp)

              分子をaでくくり出す。

a(q^2p^2)(qp)   

              分子を因数分解する。2乗の差は和と差の積で表せる。

a(qp)(qp)(qp)

              約分する。   

a(pq)

 

 

<質問>

yの変域を求める問題で,xの変域に0をふくむかどうかで,

yの変域の求め方が変わるようなのですが,よくわかりません。

 


<回答>

確かにxの変域に0をふくむかどうかで,yの変域は異なってきます。

しかし,難しく考えずに,まず,関数のグラフをかいてみることをおすすめします。

 

たとえば,次のような問題を考えてみましょう。

例題1  yx^2で,xの変域が-2x1のとき,yの変域を求めなさい。

 

まず,yx^2のグラフをかきます。これは,だいたいの形がかければOKです。

このとき,-2x1ですから,この範囲を赤い矢印で示しておきます。

テーマ4①.png

 

すると,yの最小値は0であることが明白ですね。・・・()

そして,最大値はグラフからx=-2のときy4です。・・・()

 

(ア)  ()から0y4とわかります。

 

では,同じ関数yx^2について違うxの変域で考えてみましょう。

例題2  yx^2で,xの変域が1x2のとき,yの変域を求めなさい。

これもだいたいのグラフの形をかいてみます。

そして,1x2の範囲を赤い矢印で示しておきます。

 

テーマ4②.png 

 

 

このグラフを見ると,x2のときyが最大で,x1のときyが最小であることがわかります。yx^2に,x2を代入してy4となります(最大)。

次にx1を代入してy1となります(最小)。

 

ここから1y4とわかります。

 

今回紹介した例題以外にも,まずグラフのだいたいの形をかくことで

変域の問題は簡単に考えられるようになります。

 

解の公式は使ったほうがよいのですか

<質問>

解の公式を使えばどんな2次方程式も解ける,と聞きました。

しっかり覚えておいたほうがよいのですか。

計算が複雑で間違えそうなのですが。



<回答>

解の公式はどんな2次方程式でも解けるのが利点です。

ただ,複雑ですし,覚え間違いや計算間違いをする危険が多いのも事実です。

 

これは,何度も練習をするうちに慣れるしかありません。

はじめは公式を見ながらでよいですから,多くの問題を解の公式で解いて練習しましょう。

 

ただ,「平方根利用型」や「因数分解利用型」(テキストテーマ3の「基本事項」参照)で解けるときは,

そちらのほうがおすすめです。

 

解の公式はどう求めるのですか

<質問>

解の公式が便利なのはわかったのですが,なぜあんなに複雑な形なのですか。



<回答>

2次方程式をax2bxc0という形に変形したあと,

さまざまな計算(平方根や文字式や因数分解など)を使いこなすと,

以下のようにxの値をabc3つの文字を使った式で表すことができます。

 

 

解の公式.png 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

おわかりの通り,その過程はとても複雑で難しいのです。

ですから,EVERESでは,求める過程は省略して

(おそらく学校や進研ゼミで学ぶ機会があると思います),

その結果としての公式の部分を紹介しました。

 

ただ,「こんな計算過程で求められるんだ」というのを知っておけば,

より2次方程式の世界が深く理解できるはずですから,

余裕があれば簡単にでも見ておくのもよいと思いますよ。

 

2次方程式は答えが2つあるのですか

<質問>

2次方程式はxの値が2種類あるようなのですが,答えが2つあるのですか。

 

<回答>

そうです。2次方程式の解は2つあります。

 

そもそも「解」とはどういう意味だったでしょうか。

方程式を成り立たせるx(やy)の値のことです。

 

どんな2次方程式の問題でもよいのですが,

解となっている2つのxの値を両方とも2次方程式に代入してみてください。

成り立っているのが確認できるはずです。

 

なぜ2つあるか,ということを,簡単に言いますと

「ある数の平方根が2つあること」に関係があります。

たとえば,

x27  という2次方程式があるとします。(^22乗を表します。)

 

解であるxは,2乗したら7になる数ですから,「7の平方根である」と言えますね。

つまり,x±√7 となり,2つの解xが存在するのです。

 

同様に,どんなに複雑な式になっても2次方程式には解が2つ存在するのです。

(厳密には,そうでない場合もありますが,

それは中学数学の範囲では考えませんので,ここでは省略します。)

平方根にはなぜ+と-があるのですか

<質問>

25の平方根は±5,と習いましたが,なぜ2つあるのですか。

 

<回答>

そもそも「平方根」とは何か,を確認しておきましょう。

x2乗がa となるとき,xaの平方根といいます。 

 

52乗は25ですから,「525の平方根」です。
また,-52乗すると25ですから,「-525の平方根」です。

このように、平方根は正の値と負の値の両方があります。

たとえば「25の平方根は±5」,となるのです。

±とはどんな記号ですか

<質問>

±とはどんな記号ですか。

<回答>

+と-が1つになった記号です。プラスマイナスと読みます。

2±√3と書けば,「2+√3」と「2-√3」の2つを同時に表すことができます。

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