【筑波大】数学トリビア第2弾:引っかかる人続出!?モンティホール問題

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筑波大学 理工学群  さぶ先輩

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    皆さんこんにちは!先輩チューターのさぶです。

    今回は数学トリビアの第2弾ということで、かなり有名な「モンティホール問題」について紹介しようと思います!

    この問題は一見簡単そうなのですが、多くの人が引っかかったことで有名な問題になります。直観と事実が同じとは限らないことが目に見えてわかる問題とも言っていいかもしれません。

    皆さんは間違えずに回答することができるでしょうか?

    ここで紹介する内容を見て、少しでも数学に興味を持ってくれたらうれしいです!

    モンティホール問題

    3つのドアがあり、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。

    挑戦者はドアを開けることでその後ろにある景品を手にすることができる。

    ただし、はずれの場合は何も得られない。

    手順1:挑戦者は3つの中から1つドアを選ぶ。

    手順2:司会者は答えを知っており、挑戦者が選んだ以外の残り2つの扉の中で後ろにヤギがいるドア(はずれのドア)を1つ選んで開ける。

    この時、挑戦者は残り2つのドアの中から好きな方を選べる。景品を獲得するには、このときドアを変えるべきか?変えないべきか?

    という問題になります。

    答えは?

    皆さん答えは分かりましたか?多くの人は

    手順2が終わった時点で残った扉は2つであり、扉を変えても変えなくても正解の確率は1/2だから扉を変えることによるメリットはない。

    といったような答えを出したのではないでしょうか?(お恥ずかしい話、私も最初この問題を見た時はこのように思っていました...)

    直観的に考えればあっているように感じますが、実はこれは間違えなんです!

    本当は、

    挑戦者は扉を変えたほうがよい。扉を変えない場合、正解の確率は1/3であるが、扉を変えれば正解の確率は2/3になるからである。

    というのが正解です!

    「え、なんで?」と感じた人もいると思うので次で説明していきますね。

    理論的な説明

    ドアをA、B、Cとして、挑戦者が手順1でAのドアを選ぶとします。この時考えられるのは、

    ①景品のがあるのがA、司会者が選ぶのがBのドア

    ②景品のがあるのがA、司会者が選ぶのがCのドア

    ③景品のがあるのがB、司会者が選ぶのがCのドア

    ④景品のがあるのがC、司会者が選ぶのがBのドア

    の4通りです。

    ①~④の状況が起こる確率は

    ①、②→1/3X1/2=1/6

    ③、④→1/3X1=1/3

    また、①、②の場合はドアを変えなければ景品をもらうことができ、③、④の場合はドアを変えれば景品をもらうことができるので、

    扉を変えたとき景品をもらうことができる確率→1/3+1/3=2/3

    扉を変えないとき景品をもらうことができる確率→1/6+1/6=1/3

    となるので、挑戦者が手順1でB、Cを選んだ時も同様に考えると納得できるのではないかと思います。

    最後に

    今回は「モンティホール問題」を紹介しました。

    なかなか直感的に納得できない不思議な問題ですが、数学をきちんと理解していれば理論的に説明ができます。

    数学についてもっと知りたいと思ったらぜひ先輩ダイレクトでぜひ相談してください!

    紹介してほしい問題などがありましたらお気軽にコメントしてくださいね!

    【筑波大】数学トリビア第1弾:「タイプの人と結婚するには??」そのギモン、解決できるかも!

    <この記事を書いた人>
    筑波大 さぶ

    ※この記事は、公開日時点の情報に基づいて制作しております。

     
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